Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0 ; 0 ; 6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \(A_1\left(0;1;0\right),A_2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2};0\right),A_3=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2};0\right)\) (Hình 40).
Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300 N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ \(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}\).
Ta có:
\(\left| {\overrightarrow {{A_1}O} } \right| = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\);
\(\left| {\overrightarrow {{A_2}O} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\);
\(\left| {\overrightarrow {{A_3}O} } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\).
Do đó \({A_1}O = {A_2}O = {A_3}O = 1\), suy ra O là trọng tâm tam giác \({A_1}{A_2}{A_3}\).
Khi đó \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{A_2}} + \overrightarrow {E{A_3}} = 3\overrightarrow {EO} \) (tính chất trọng tâm).
Mặt khác, dễ dàng chứng minh độ dài các giá đỡ \(E{A_1} = E{A_2} = E{A_3}\) (do các tam giác vuông \(EO{A_1}\), \(EO{A_2}\), \(EO{A_3}\) bằng nhau). Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên ta có tỉ lệ:
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{E{A_1}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{E{A_2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{E{A_3}}} = k\) và \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {E{A_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {E{A_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {E{A_3}} \).
Từ \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{A_2}} + \overrightarrow {E{A_3}} = 3\overrightarrow {EO} \) đã chứng minh, ta được:
\(k\overrightarrow {E{A_1}} + k\overrightarrow {E{A_2}} + k\overrightarrow {E{A_3}} = 3k\overrightarrow {EO} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = 3k\overrightarrow {EO} \).
Mà \(\overrightarrow {EO} = (0 - 0;0 - 0;0 - 6) = (0;0 - 6)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = (0;0; - 18k)\).
Giả sử \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác động lên cả 3 giá đỡ. \(\overrightarrow P \) là lực vuông góc với mặt phẳng (Oxy), hướng xuống dưới (ngược chiều với trục Oz) nên tọa độ của \(\overrightarrow P = (0;0; - 300)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P \Leftrightarrow - 18k = - 300 \Leftrightarrow k = \frac{{50}}{3}\).
Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} = (0;\frac{{50}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_2}} = (\frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_3}} = ( - \frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)\).