lăng trụ ABC.A'B'C' Có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a căn 3. hình chiếu vuông góc của đỉnh A' lên ( ABC) Trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM = 2MA. biết khoản cách giữa 2 đường thẳng A'M và BC bằng a/2 . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho
Gọi H là trung điểm BC\(\Rightarrow A'H\perp\left(ABC\right)\)
Kẻ MN//BC (N thuộc AB), từ H kẻ \(HK\perp MN\), từ H kẻ \(HP\perp A'K\)
\(\Rightarrow HP\) là k/c từ H đến \(\left(A'MN\right)\), mà BC//(A'MN) \(\Rightarrow HP=d\left(A'M;BC\right)=\frac{a}{2}\)
Theo định lý Talet và hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(HK=\frac{2}{3}.\frac{AB.AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{1}{HP^2}=\frac{1}{A'H^2}+\frac{1}{HK^2}\Rightarrow A'H=\frac{HP.HK}{\sqrt{HK^2-HP^2}}=a\)
\(\Rightarrow V=\frac{1}{2}A'H.AB.AC=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)
