Question

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.Trên OB và OD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF

a.Chứng minh AECF là hình bình hành

b.Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì để AECF là hình thoi?

c.AF cắt CD tại M.Xác định vị trí của điểm F để M là trung điểm CD

Answer 1

a) Vì ABCD là hình thoi(gt). Mà AC và BD cắt nhau tại O

=> O là trung điểm của AC và BD (t/c của hình bình hành)

=> OB=OD. Mà BE=DF(gt)

=> OB-BE=OD-DF => OE=OF. Mà O nằm giữa E và F

=> O là trung điểm của EF

Xét tứ giác AECF có: AC cắt EF tại O

Mà O là trung điểm của AC( c/m trên )

O là trung điểm của EF( c/m trên )

=> AECF là hình bình hành (Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành)

b) Để AECF là hình thoi => \(AC\perp EF\) tại O

=> \(AC\perp BD\) tại O (\(E; F\in\left(O\right)\))

Xét hình bình hành ABCD có: \(AC\perp BD\) tại O (c/m trên)

=> ABCD là hình thoi (Hình bình hành có 2 đ/c vuông góc là hình thoi)

Vậy để AECF là hình thoi thì ABCD là hình thoi

c) Vì AECF là hình bình hành(c/m trên) => AF // EC (t/c của hình bình hành)

=> FM // EC ( \(M\in AF\) )

Xét \(\Delta CDE\) có: FM // EC (c/m trên)

M là trung điểm của CD (gt)

=> F là trung điểm của DE

Vậy để M là trung điểm của CD thì F là trung điểm của DE

Answer 2

a/

Có tứ giác ABCD là hình bình hành=> OB=OD mà EB=FD(gt)=> OE=OF(1)

Mặt khác cũng vì ABCD là hình bình hành(gt) => OA=OC(2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác AECF là hình bình hành( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

b/ Để hình bình hành AECF là hình thoi

<=> AE=AF(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

<=> tam giác AFD=tam giác AEB( AD=AB;góc ADF=góc ABE; DF=BE)

<=>tứ giác ABCD là hình thoi

c/Để M là trung điểm của DC

<=> AM là trung tuyến của tam giác ADC mà OD cũng là trung tuyến của tam giác ADC( OA=OC)

mà AM giao OD tại F

=> F là trọng tâm của tam giác ADC( giao điểm của 3 đường trung tuyến)