Câu 10: Gọi H là trung điểm của AC
ΔABC đều
mà BH là đường trung tuyến
nên BH⊥AC
Kẻ BK⊥SH tại K
Ta có: AC⊥BH
AC⊥SB
BH,SB cùng thuộc mp(SBH)
Do đó: AC⊥(SBH)
=>AC⊥BK
Ta có: BK⊥AC
BK⊥SH
SH,AC cùng thuộc mp(SAC)
Do đó: BK⊥(SAC)
=>BK là khoảng cách từ B xuống mp(SAC)
=>BK=a
(SAC) giao (ABC)=AC
BH⊥AC; BH⊂(ABC)
SH⊥AC; SH⊂(SAC)
Do đó: \(\hat{\left(SAC\right);\left(ABC\right)}=\hat{SH;HB}=\hat{SHB}=30^0\)
ΔSBH vuông tại B
=>\(\hat{BSH}+\hat{BHS}=90^0\)
=>\(\hat{BSH}=90^0-30^0=60^0\)
Xét ΔSKB vuông tại K có \(\sin BSK=\frac{BK}{SB}\)
=>\(\frac{a}{SB}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(SB=\frac{2a}{\sqrt3}\)
Xét ΔBKH vuông tại K có \(\sin KHB=\frac{BK}{BH}\)
=>\(\frac{a}{BH}=\sin30=\frac12\)
=>BH=2a
ΔBAC đều có BH là đường cao
nên \(BH=AC\cdot\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(AC=2a:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{4a}{\sqrt3}\)
Diện tích tam giác BAC là:
\(S_{BAC}=\frac12\cdot BH\cdot AC=\frac12\cdot2a\cdot\frac{4a}{\sqrt3}=\frac{4a^2}{\sqrt3}\)
Thể tích hình chóp là:
\(V=\frac13\cdot SB\cdot S_{ABC}\)
\(=\frac13\cdot\frac{2a}{\sqrt3}\cdot\frac{4a^2}{\sqrt3}=\frac{8a^3}{9}\)
Câu 11:
Gọi H là trung điểm của BC
ΔABC đều
mà AH là đường trung tuyến
nên AH⊥BC tại H
Trong mp(SAH), kẻ AK⊥SH tại K
Ta có: BC⊥AH
BC⊥SA(SA⊥(ABC))
AH,SA cùng thuộc mp(SAH)
Do đó: BC⊥(SAH)
=>BC⊥AK
Ta có: AK⊥SH
AK⊥BC
SH,BC cùng thuộc mp(SBC)
Do đó; AK⊥(SBC)
=>AK là khoảng cách từ A xuống mp(SBC)
=>AK=a
(SBC) giao (ABC)=BC
AH⊂(ABC); AH⊥BC
SH⊂(SBC); SH⊥BC
Do đó: \(\hat{\left(SBC\right),\left(ABC\right)}=\hat{SH;HA}=\hat{SHA}\)
ΔSAH vuông tại A
=>\(\hat{ASH}+\hat{AHS}=90^0\)
=>\(\hat{ASH}=90^0-60^0=30^0\)
Xét ΔAKS vuông tại K có \(\sin ASK=\frac{AK}{SA}\)
=>\(\frac{a}{SA}=\sin30=\frac12\)
=>SA=2a
Xét ΔAKH vuông tại K có sin AHK\(=\frac{AK}{AH}\)
=>\(\frac{a}{AH}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(AH=\frac{2a}{\sqrt3}\)
ΔABC đều có AH là đường cao
nên \(AH=BC\cdot\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(BC=\frac{2a}{\sqrt3}:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{4a}{3}\)
ΔABC có AH là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot\frac{2a}{\sqrt3}\cdot\frac{4a}{3}=\frac{8a^2}{6\sqrt3}=\frac{4a^2}{3\sqrt3}\)
\(V_{S.ABC}=\frac13\cdot SA\cdot S_{ABC}\)
\(=\frac13\cdot2a\cdot\frac{4a^2}{3\sqrt3}=\frac{8a^3}{9\sqrt3}=8\sqrt3\cdot\frac{a^3}{27}\)
