a.
Gọi \(D\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(2;-2;9\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(2-x;1-y;1-z\right)\end{matrix}\right.\)
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x=2\\1-y=-2\\1-z=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(0;3;-8\right)\)
b.
\(\overrightarrow{AC}=\left(1;-1;6\right)\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{2.1+\left(-2\right).\left(-1\right)+9.6}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+9^2}.\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2+6^2}}=0,9973\)
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\approx4^011'\)
c.
\(R=AB=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+9^2}=\sqrt{89}\)
Phương trình mặt cầu:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+5\right)^2=89\)
d.
\(\overrightarrow{BC}=\left(-1;1-;3\right)\Rightarrow BC=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}\)
Gọi I là trung điểm BC \(\Rightarrow I\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right)\)
Đường tròn đường kính BC nhận I là tâm và có bán kính \(R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)
Phương trình:
\(\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(z-\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{11}{4}\)
e.
\(\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(-3;-3;0\right)=-3\left(1;1;0\right)\)
\(\Rightarrow\) Mặt phẳng (ABC) nhận (1;1;0) là 1 vtpt và đi qua A
Phương trình:
\(1\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)+0\left(z+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-3=0\)
f.
\(\left(\alpha\right)\) vuông góc BC nên nhận \(-\overrightarrow{BC}=\left(1;-1;3\right)\) là 1 vtpt
Phương trình:
\(1\left(x-1\right)-1\left(y-2\right)+3\left(z-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-y+3z-14=0\)
h.
Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow H\left(2;1;-\dfrac{1}{2}\right)\)
Mặt phẳng trung trực của AB qua H và vuông góc AB nên nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(2;-2;9\right)\) là 1 vtpt
Phương trình:
\(2\left(x-2\right)-2\left(y-1\right)+9\left(z+\dfrac{1}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x-2y+9z+\dfrac{5}{2}=0\)
