1.
\(\overrightarrow{BC}=\left(2;-4\right)=2\left(1;-2\right)\)
Đường thẳng BC nhận (1;-2) là 1 vtcp và (2;1) là 1 vtpt
Phương trình tổng quát BC:
\(2\left(x-2\right)+1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x+y-7=0\)
Phương trình tham số BC: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=3-2t\end{matrix}\right.\)
2.
d' song song d nên nhận (3;4) là 1 vtpt
Phương trình d':
\(3\left(x+2\right)+4\left(y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x+4y+2=0\)
3.
\(\overrightarrow{AB}=\left(4;2\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{5}\)
Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow I\left(0;2\right)\)
Đường tròn đường kính AB nhận M là tâm và có bán kính \(R=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{5}\)
Phương trình:
\(x^2+\left(y-2\right)^2=5\)
4.
\(R=d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|2.4-3.3-10\right|}{\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{11}{5}\)
Phương trình đường tròn: \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=\dfrac{121}{25}\)
5.
Phương trình trung trực của AB qua M(0;2) và vuông góc AB có dạng:
\(2\left(x-0\right)+1\left(y-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x+y-2=0\)
Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow N\left(3;1\right)\)
Phương trình trung trực của BC qua N và vuông góc BC có dạng:
\(1\left(x-3\right)-2\left(y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-2y-1=0\)
Tọa độ tâm I đường tròn là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;0\right)\)
\(\overrightarrow{IA}=\left(-3;1\right)\Rightarrow R=IA=\sqrt{10}\)
Phương trình đường tròn:
\(\left(x-1\right)^2+y^2=10\)
//Câu này hơi đặc biệt nên có cách giải khác đơn giản hơn:
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=4.2+2.\left(-4\right)=0\Rightarrow AB\perp BC\)
\(\Rightarrow\) Tam giác ABC vuông tại B \(\Rightarrow\) đường tròn đi qua 3 điểm ABC nhận trung điểm AC là tâm và \(\dfrac{AC}{2}\) là bán kính
\(\overrightarrow{AC}=\left(6;-2\right)\Rightarrow AC=2\sqrt{10}\Rightarrow R=\dfrac{AC}{2}=\sqrt{10}\)
Gọi I là trung điểm AC \(\Rightarrow I\left(1;0\right)\)
Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+y^2=10\)
