giúp mình 4 bài này nha
1. Cho \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\) và \(x:y:z=a:b:c\)
CMR: \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
2. Tìm x,y biết \(\dfrac{x^2+y^2}{10}=\dfrac{x^2-2y^2}{7}\) và \(x^4y^4=81\)
3. Với giá trị nào của x thì \(A=\left|x-3\right|+\left|x-5\right|+\left|x-7\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
4. Với giá trị nào của x thì \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-5\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
1. Ta có: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\) ( vì \(a+b+c=1\) )
Do đó \(\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\)( vì \(a^2+b^2+c^2=1\) ).
Vậy \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
2. Đặt \(x^2=a\left(a\ge0\right),y^2=b\left(b\ge0\right)\)
Ta có: \(\dfrac{a+b}{10}=\dfrac{a-2b}{7}\) và \(a^2b^2=81\)
\(\dfrac{a+b}{10}=\dfrac{a-2b}{7}=\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a-2b\right)}{10-7}=\dfrac{3b}{3}=b\) __(1)__
\(\dfrac{a+b}{10}=\dfrac{a-2b}{7}=\dfrac{2a+2b}{20}=\dfrac{\left(2a+2b\right)+\left(a-2b\right)}{20+7}=\dfrac{3a}{27}=\dfrac{a}{9}\)__(2)__
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{a}{9}=b\Rightarrow a=9b\)
Do \(a^2b^2=81\) nên \(\left(9b\right)^2.b^2=81\Rightarrow81b^4=81\Rightarrow b^4=1\Rightarrow b=1\) ( vì \(b\ge0\) )
Suy ra: a = 9.1 = 9
Ta có: \(x^2=9\) và \(y^2=1\). Suy ra: \(x=\pm3,y=\pm1\)
3. Ta biết rằng \(\left|A\right|\ge A\) ( Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow A\ge0\) )
\(\left|A\right|=\left|-A\right|\) và \(\left|A\right|\ge0\) ( Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow A=0\) )
Ta có: \(A=\left|x-3\right|+\left|x-5\right|+\left|7-x\right|\ge x-3+0+7-x=4\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-3=0\\x-5=0\\7-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\x=5\\x\le7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)
Vậy với x = 5 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 4
4. Ta có: \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|+\left|5-x\right|\ge x-1+x-2+3-x+5-x=5\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x-2\ge0\\3-x\ge0\\5-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\ge2\\x\le3\\x\le4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2\le x\le3\)
Vậy với \(2\le x\le3\) thì B đạt giá trị nhỏ nhất là 5
