Bài 4: Ôn tập chương Giới hạn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sennn

undefinedgiúp em với em cảm ơn nhiều ạ

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 3 2022 lúc 23:19

\(\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}+nu_n\)

Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{2022}\\v_{n+1}=v_n+\dfrac{n}{v_n}\end{matrix}\right.\) và \(\left\{\dfrac{1}{nu_n}\right\}=\left\{\dfrac{v_n}{n}\right\}\)

Ta sẽ chứng minh \(v_n\ge n\) với \(n>1\)

Với \(n=2\Rightarrow v_2=v_1+2022>2\) (đúng) 

Giả sử điều đó đúng với \(n=k>1\) hay \(v_k\ge k\) 

Ta cần chứng minh \(v_{k+1}\ge k+1\)

Thật vậy, do \(v_k\ge k\), đặt \(v_k=k+\alpha\) với \(\alpha\ge0\)

Khi đó: \(v_{k+1}=v_k+\dfrac{k}{v_k}=k+\alpha+\dfrac{k}{k+\alpha}=k+\dfrac{k\alpha+\alpha^2+k}{k+\alpha}\ge k+\dfrac{\alpha+k}{k+\alpha}=k+1\) (đpcm)

Tương tự, ta quy nạp chứng minh được \(v_n\le n+v_2\) với \(n>1\) (do \(v_2\) số xấu nên ko ghi)

Kiểm tra với \(n=2\Rightarrow v_2\le2+v_2\) (đúng)

Giả sử \(v_k\le k+v_2\)

 \(\Rightarrow v_{k+1}=v_k+\dfrac{k}{v_k}\le k+v_2+\dfrac{k}{v_k}\le k+v_2+\dfrac{k}{k}=k+1+v_2\) (đpcm)

\(\Rightarrow n\le v_n\le n+v_2\) \(\Rightarrow1\le\dfrac{v_n}{n}\le\dfrac{n+v_2}{n}\)

Sử dụng định lý kẹp, dễ dàng suy ra \(\lim\left\{\dfrac{v_n}{n}\right\}=1\)


Các câu hỏi tương tự
Sennn
Xem chi tiết
Sennn
Xem chi tiết
Duyy Kh
Xem chi tiết
Duyy Kh
Xem chi tiết
Trần Minh
Xem chi tiết
Cường Nguyễn
Xem chi tiết
Vương Đức Hoan
Xem chi tiết
Vương Đức Hoan
Xem chi tiết