Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).
Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách điểm xuất phát O của A-sin 100km.
Ta tính thời gian A-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A3,... , An-1An,... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa.
Để chạy hết quãng đường OA1 =100 (km), A-sin phải mất thời gian t1 =\(\frac{{100}}{{100}}\) =1 (h).
Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được quãng đường A1A2 =1 (km).
Để chạy hết quãng đường A1A2 =1 (km), A-sin phải mất thời gian t2 = \(\frac{1}{{100}}\) (h).
Với thời gian t2 rùa đã chạy thêm được quãng đường A2A3 = \(\frac{1}{{100}}\) (km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An-1An = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), A-sin phải mất thời gian tn = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h).
Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A3,... , An-1An,... là:
\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 =1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:
\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\left( h \right)\)
Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ.
Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.
