Gọi con số xuất hiện trên xúc xắc thứ i (với \(1\le i\le5\) ) là \(x_i\) (với \(1\le x_i\le6\))
Ta cần tìm số bộ nghiệm nguyên dương của pt:
\(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=14\)
Đặt \(y_i=x_i-1\Rightarrow y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=9\) (1) với \(y_i\) không âm
Đưa về bài toán chia kẹo Euler: tìm số nghiệm nguyên không âm của pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=9\\y_i\le5\end{matrix}\right.\)
Theo bài toán chia kẹo, số nghiệm nguyên ko âm bất kì của (1) là: \(C_{9+5-1}^{5-1}=C_{13}^4\)
Bây giờ, do vai trò của \(y_i\) như nhau, ta xét pt: \(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=9\\y_1\ge6\end{matrix}\right.\)
Đặt \(y_1-6=z_1\Rightarrow z_1+y_2+y_3+y_4+y_5=3\) (2)
\(\Rightarrow\) (2) có số nghiệm nguyên ko âm là: \(C_{5+3-1}^{5-1}=C_7^4\)
Do ko thể tồn tại cùng lúc 2 giá trị i; j sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=9\\y_i\ge6;y_j\ge6\end{matrix}\right.\)
Nên các trường hợp \(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=9\\y_i\ge6\end{matrix}\right.\) là độc lập (các tập hợp này giao nhau đều bằng rỗng)
Do đó, số nghiệm của pt: \(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=9\\y_i\le5\end{matrix}\right.\) là: \(C_{13}^4-5.C_7^4\)
