Question

Chứng minh rằng với \(n\in N^{\circledast}\), ta có các đẳng thức :

a) \(2+5+8+.....+3n-1=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\)

b) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+....+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}\)

c) \(1^2+2^2+3^2+....+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

Answer 1

a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =

Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: S_k+1 = S_k + 3k + 2 = + 3k + 2

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N^*

b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng , do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh .

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N^*

c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = 1² + 2² + 3² + …+ k² =

Ta phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

S_k+1 = S_k + (k + 1)^{2 =} = (k + 1). = (k + 1)

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N^*