![\sqrt{2}](http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png)
![\sqrt{2}](http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png)
![\sqrt{2}](http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png)
![\Leftrightarrow](http://upload.wikimedia.org/math/0/1/4/014cced2b73c22eb88cdc6901afb0c9d.png)
![\Leftrightarrow](http://upload.wikimedia.org/math/0/1/4/014cced2b73c22eb88cdc6901afb0c9d.png)
Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận
là số vô tỉ.
Để chứng minh: "{\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số vô tỉ" người ta còn dùng phương pháp phản chứng theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.
Giả sử rằng {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho m/n = {\displaystyle {\sqrt {2}}} .Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m/n = (2n - m)/(m - n).Vì {\displaystyle {\sqrt {2}}} > 1, nên từ (1) suy ra m > n {\displaystyle \Leftrightarrow } m > 2n - m.Từ (2) và (3) suy ra (2n - m)/(m - n) là phân số rút gọn của phân số m/n.Từ (4) suy ra, m/n không thể là phân số tối giản hay {\displaystyle {\sqrt {2}}} không thể là số hữu tỉ - mâu thuẫn với giả thiết {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Vậy {\displaystyle {\sqrt {2}}} phải là số vô tỉ.