Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyen Hoa Le

Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{2}\)+\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\)+\(\dfrac{1}{4\sqrt{3}}\)+...+\(\dfrac{1}{2005\sqrt{2004}}\)

Nguyễn Quang Định
18 tháng 9 2017 lúc 16:17

Chứng minh biểu thức đó <2

Với mọi \(n\in N^{\cdot}\), ta có

\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Leftrightarrow1< 2\left(n+1\right).\sqrt{n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Leftrightarrow0< n+1-2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+n\)

\(\Leftrightarrow0< \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2\)(Luôn đúng vì n thuộc N*)

Do đó: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+...\dfrac{1}{2005\sqrt{2004}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2004}}-\dfrac{1}{\sqrt{2005}}\right)\)

\(=2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2005}}\right)< 2\)


Các câu hỏi tương tự
Quỳnh Ngân
Xem chi tiết
Bertram Đức Anh
Xem chi tiết
Quỳnh Ngân
Xem chi tiết
Đỗ Ngọc Diệp
Xem chi tiết
Trần Sơn
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hà Uyên
Xem chi tiết