Question

Chứng minh rằng:

a) \(2004^{100}+2004^{99}⋮2005\)

b) \(3^{1994}+3^{1993}-3^{1992}⋮11\)

c) \(31^{10}-27^{13}-9^{21}⋮225\)

d) \(125^{66}-5^{197}+25^{98}⋮105\)

Answer 1

a) 2004¹⁰⁰ + 2004⁹⁹

= 2004^{99 + 1} + 2004⁹⁹

= 2004⁹⁹.2004 + 2004⁹⁹

= 2004⁹⁹(2004 + 1)

= 2004⁹⁹.2005

Vì 2005 ⋮ 2005 nên 2004⁹⁹.2005 ⋮ 2005

Hay 2004¹⁰⁰ + 2004⁹⁹ ⋮ 2005

⇒ đccm

b) 3¹⁹⁹⁴ + 3¹⁹⁹³ - 3¹⁹⁹²

= 3^{1992 + 2} + 3^{1992 + 1} - 3¹⁹⁹²

= 3¹⁹⁹².3² + 3¹⁹⁹².3 - 3¹⁹⁹²

= 3¹⁹⁹²(3² + 3 - 1)

= 3¹⁹⁹².11

Vì 11 ⋮ 11 nên 3¹⁹⁹².11 ⋮ 11

Hay 3¹⁹⁹⁴ + 3¹⁹⁹³ - 3¹⁹⁹² ⋮ 11

⇒ đccm

d) 125⁶⁶ - 5¹⁹⁷ + 25⁹⁸

= \(\left(5^3\right)^{66}-5^{197}+\left(5^2\right)^{98}\)

= 5¹⁹⁸ - 5¹⁹⁷ + 5¹⁹⁶

= 5^{195 + 3} - 5^{195 + 2} + 5^{195 + 1}

= 5¹⁹⁵.5³ - 5¹⁹⁵.5² + 5¹⁹⁵.5

= 5¹⁹⁵(5³ - 5² + 5)

= 5¹⁹⁵.105

Vì 105 ⋮ 105 nên 5¹⁹⁵.105 ⋮ 105

Hay 125⁶⁶ - 5¹⁹⁷ + 25⁹⁸ ⋮ 105

⇒ đccm