Question

cho(O) và điểm A nằm ngoài đng tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB,AC. Từ B kẻ đng thẳng song song với AC cắt đng tròn tại E. AE cắt đng tròn tại điểm thứ 2 là D. CMR: BD đi qua trung điểm của AC(hack não 1 chút)

Answer 1

Gọi giao điểm của BD với AC là I

Xét (O) có

\(\widehat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

\(\widehat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD

Do đó: \(\widehat{BED}=\widehat{ABD}\)

mà \(\widehat{BED}=\widehat{IAD}\)(hai góc so le trong, BE//AI)

nên \(\widehat{IAD}=\widehat{IBA}\)

Xét ΔIAD và ΔIBA có

\(\widehat{IAD}=\widehat{IBA}\)

\(\widehat{AID}\) chung

Do đó: ΔIAD~ΔIBA

=>\(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{ID}{IA}\)

=>\(IA^2=IB\cdot ID\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{ICD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CI và dây cung CD

\(\widehat{CBD}\)là góc nội tiếp chắn cung CD

Do đó: \(\widehat{ICD}=\widehat{CBD}\)

Xét ΔICD và ΔIBC có

\(\widehat{ICD}=\widehat{IBC}\)

\(\widehat{CID}\) chung

Do đó: ΔICD~ΔIBC

=>\(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{ID}{IC}\)

=>\(IC^2=IB\cdot ID\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra IA=IC

=>I là trung điểm của AC

=>BD đi qua trung điểm của AC