Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Luyri Vũ

Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz = 3xyz . Tìm Max P = \(\Sigma\dfrac{1}{x+2y+3z}\)

Lê Thị Thục Hiền
8 tháng 7 2021 lúc 11:38

\(xy+yz+zx=3xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\)

Có \(\dfrac{1}{x+2y+3z}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+2z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{2z}\right)\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4z}+\dfrac{1}{2z}\right)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{3}{4z}\right)\)

Tương tự cx có: \(\dfrac{1}{y+2z+3x}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{2z}+\dfrac{3}{4x}\right)\);\(\dfrac{1}{z+2x+3y}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4z}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{3}{4y}\right)\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow\Sigma\dfrac{1}{x+2y+3z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xayra khi x=y=z=1

Vậy \(P_{max}=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Linh Anh
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Tấn Dũng
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết