Question

Cho x , y, z là các số dương . chứng minh rằng

D = \(\dfrac{x}{2x+y+z}\) + \(\dfrac{y}{2y+x+z}\) +\(\dfrac{z}{2z+x+y}\) ≤ \(\dfrac{3}{4}\)

Giúp mình với nhé . thanks các bạn trướt !

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)

\(\Rightarrow \frac{x}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

Tương tự:

\(\frac{y}{2y+x+z}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}\right)\)

\(\frac{z}{2z+x+y}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

Cộng theo vế:
\(D\leq \frac{1}{4}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{4}\) (dpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$