Question

cho x, y thỏa mãn:

\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

tìm min M\(=10x^4+8y^4-15xy+6x^2+5y^2+2017\)

Answer 1

Nhân biểu thức liên họp từng só vào phương trình

\((x-\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=x-\sqrt{x^2+1} \)

<=>\(y+\sqrt{y^2+1}=x-\sqrt{x^2+1} \)

Cmtt=>\(x+\sqrt{x^2+1}=y-\sqrt{y^2+1} \)

Trừ vế với vế=> 2(x-y)=0

<=> x-y=0

<=>x=y

=> M=\(18x^4-15x^2+6x^2+5x^2+2017\)

= \(18x^4-4x^2+2017\)

=\(2(9x^4-2x^2+\frac{1}{9} )+2017-\frac{2}{9} \)

=\(2(3x^2-\frac{1}{3})^2+2017-\frac{2}{9} \)

Min M= \(2017-\frac{2}{9} \)<=>\(3x^2=\frac{1}{3} \)

<=>\(x^2=\frac{1}{9} \)

<=>x=y=\(+-\frac{1}{3} \)