Question

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(P\) là giao điểm của hai đường chéo. Giải thích tại sao \(AB\) // \(CD\) và \(AD\) // \(BC\) trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(AB = CD\) và \(AD = BC\) (Hình 7a)

Trường hợp 2: \(AB\) // \(CD\) và \(AB = CD\) (Hình 7b)

Trường hợp 3: \(AD\) // \(BC\) và \(AD = BC\) (Hình 7c)

Trường hợp 4: \(\widehat {\rm{A}} = \widehat {\rm{C}}\), \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {\rm{D}}\) (Hình 7d)

Trường hợp 5: \(PA = PC\), \(PB = PD\) (Hình 7e)

Answer 1

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\) ta có:

\(AB = CD\) (gt)

\(AD = BC\) (gt)

\(AC\) chung

Suy ra: \(\Delta ABC = \Delta CDA\) (c-c-c)

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra \(AB\) // \(CD\)

Chứng minh tương tự \(\Delta ADB = \Delta CBD\) (c-c-c)

\( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {CDB}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong
\( \Rightarrow AD\;{\rm{//}}\;BC\)

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\) ta có:

\(AB = CD\) (gt)

\(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{ACD}}}\) (do \(AB\) // \(CD\))

\(AC\) chung

Suy ra: \(\Delta ABC = \Delta CDA\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {CAD}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra \(AD\;{\rm{//}}\;BC\)

c) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\) ta có:

\(BC = AD\) (gt)

\(\widehat {{\rm{BCA}}} = \widehat {{\rm{CDA}}}\) (do \(AD\) // \(BC\))

\(AC\) chung

Suy ra \(\Delta ABC = \Delta CDA\) (c-g-c)

Suy ra \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{ACD}}}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra: \(AB\) // \(CD\)

d) Xét tứ giác \(ABCD\) ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)

Mà \(\widehat A = \widehat C\); \(\widehat B = \widehat D\) (gt)

Suy ra \(\widehat A + \widehat D = 180^\circ ;\;\widehat A + \widehat B = 180^\circ \)

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía

Suy ra \(AB\;{\rm{//}}\;CD;\;AD\;{\rm{//}}\;BC\)

e) Xét \(\Delta APB\) và \(\Delta CPD\) ta có:

\(PA = PC\) (gt)

\(\widehat {{\rm{APB}}} = \widehat {{\rm{CPD}}}\) (đối đỉnh)

\(PB = PD\) (gt)

Suy ra: \(\Delta APB = \Delta CPD\) (c-g-c)

Suy ra: \(\widehat {BAP} = \widehat {PCD}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra \(AB\;{\rm{//}}\;CD\)

Chứng minh tương tự: \(\Delta APD = \Delta CPB\) (c-g-c)

Suy ra \(\widehat {{\rm{DAP}}} = \widehat {{\rm{BCP}}}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra \(AD\) // \(BC\)