Lời giải:
Sử dụng công thức \((1)\): Với \(a,b,c\) là ba cạnh đối diện góc \(\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}\) của tam giác \(ABC\) thì \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin A\)
Chứng minh:
Kẻ \(BH\perp AC\Rightarrow S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}\)
Xét tam giác $ABH$ vuông thì \(\sin A=\frac{BH}{AB}\Rightarrow BH=\sin A.AC\)
Từ hai điều trên suy ra \(S_{ABC}=\frac{AB.AC.\sin A}{2}\) (đpcm)
Quay trở lại bài toán :
Sử dụng công thức \(\sin \alpha=\sin (180-\alpha)\) suy ra \(\sin AOD=\sin AOB=\sin BOC=\sin DOC\)
Áp dụng công thức \((1)\)
\(S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{AOD}+S_{DOC}+S_{BOC}=\frac{AO.OB.\sin AOB+AO.DO.\sin AOD+DO.CO.\sin DOC+BO.CO.\sin BOC}{2}\)
\(=\frac{\sin AOB(AO.OB+AO.OD+DO.OC+BO.OC)}{2}=\frac{\sin AOB(AO.BD+OC.BD)}{2}=\frac{\sin 50^0.BD.AC}{2}\)
\(=\frac{20\sin 50}{2}=10\sin 50\)
