Question

Cho tứ giác ABCD có BC =AD và BC không song song với AD. Gọi M,N,P,Q,E,F lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA,AC,BD.

a, chứng minh rằng tứ giác MEPF là hình thoi

b,Chứng minh rằng các đoạn thẳng MP,NQ,EF cùng cắt nhau tại một điểm

c,tìm điều kiện của tứ giác ABCD để N,E,F,Q thẳng hàng

Answer 1

a: Xét ΔABC có AM/AB=AE/AC

nên ME//BC và ME=1/2BC=1/2AD

Xét ΔBDC có DF/DB=DP/DC

nên PF//BC và PF=BC/2

=>ME//PF và ME=PF

Xét ΔBAD có BM/BA=BF/BD

nên MF//AD và MF=AD/2

=>MF=ME

Xét tứ giác MFPE có

ME//PF

ME=PF

MF=ME

Do đó; MFPE là hình bình hành

=>MP cắt FE tại trung điểm của mỗi đường(1)

b: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC

nên MN//AC và MN=AC/2

Xét ΔDAC có DQ/DA=DP/DC

nên PQ//AC và PQ=AC/2

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1), (2) suy ra MP,FE,QN đồng quy