Cho tứ diện đều SABC cạnh a. (P) là một mặt phẳng thay đổi đi qua đỉnh S và song song với BC. Giả sử (P) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N
a) Cho biết tính chất của tam giác SMN
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) luôn đi qua một đường thẳng cố đinh
c) Đặt AM = \(x\). Tính \(y=SM^2+SN^2+MN^2\). Tìm \(x\) để \(y=\dfrac{7a^2}{4}\) ?
Cho tứ diện ABCD có \(AB\perp CD\) và AB = CD = AC = a. Trên đoạn AC lấy M với AM = x. Qua M ta vẽ mặt phẳng (P) song song với AB và CD. Mặt phẳng (P) cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, R, T
a) Cho biết tính chất của tứ gác MNRT
b) Tìm diện tích S của tứ giác MNRT theo a và x. Tìm x để S lớn nhất
c) Tìm x để \(S=\dfrac{2a^2}{9}\)
Cho tứ diện ABCD với AB = a, CD = b, AC = c. Lấy M là điểm bất kì trên đoạn AC. Qua M ta vẽ một mặt phẳng (P) song song với hai cạnh AB và CD. Gọi M, N, R, S lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh AC, BC, BD, AD
a) Tìm điều kiện để MNRS là hình chữ nhật
b) Đặt AM = x, (0 < x < c). Tìm diện tích S của tứ giác MNRS khi \(AB\perp CD\). Tìm giá trị lớn nhất của S ?
Cho tam giác đều ABC cạnh a. dB, dc lần lượt là đường thẳng đi qua B, C và vuông góc (ABC). (P) là mặt phẳng đi qua A và hợp với (ABC) một góc bằng 60°. (P) cắt dB, dc tại D và E.
AD=\(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\);AE=\(a\sqrt{3}\). Đặt β = DAE. Khẳng định nào sau đây đúng, vì sao?
A. 30o
B. sinβ = \(\dfrac{2}{\sqrt{6}}\)
C. sinβ = \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
D. β = 60o
Hình chóp A.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Chứng minh rằng các mặt bên kia của hình chóp là những tam giác vuông
b) Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B', C', D'. Chứng minh B'D' song song với BD và AB' vuông góc với SB
Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN
Đặt AB = 2a, gọi O là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên đường thẳng MN
a) Chứng minh rằng OH = a, HM = AM, HN = BN
b) Gọi Bx' là tia song song và cùng chiều với tia Ax và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Bx',By). Chứng minh BK là phân giác của góc x'By ?
c) Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn cố định ?
Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a
a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là những tam giác vuông
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC
Trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và nằm về một phía đối với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) . Một mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) lần lượt cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) tại A', B', C', D'.
a) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ? Chứng minh rằng AA' + CC'=BB'+DD'
b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)
c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)
Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a
a) Tính góc giữa SA và BC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đềy 3 đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ?
