Vì \(\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a}\) nên \(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{b+c}{d+a}\) suy ra:
\(\dfrac{a+b}{c+d}+1=\dfrac{b+c}{d+a}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+d}\) (*)
Nếu *a+b+c+d \(\ne\) 0 thì từ (*) suy ra: c+d = a+d suy ra a = c
* a+b+c+d = 0 thì ta có tỉ lệ thức luôn đúng ( a có thề bằng hay không bằng c )
Ta có : \(\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a}\left(a,b,c,d>0\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :
\(\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a}=\dfrac{\left(a+b\right)+\left(c+d\right)}{\left(b+c\right)+\left(d+a\right)}=\dfrac{a+b+c+d}{b+c+d+a}=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{b+c}=1\)
\(\Rightarrow a+b=b+c\)
\(\Rightarrow a+b-\left(b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b-b-c=0\)
\(\Rightarrow a+\left(b-b\right)-c=0\)
\(\Rightarrow a-c=0\)
\(\Rightarrow a=c\)
Vậy \(a=c\)
