Cho tan giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HB
a/ Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao? Nếu góc C=30 độ thì tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao?
b/ Từ C vẽ đường thẳng vuông với tia AD tại M. Chứng minh CB là tia p/g của góc ACM
c/ Tia AH cắt CM tại Q. CM tam giác ACQ cân
d/Chứng minh QD vuông góc với AC
Giải:
a, AH là trung trực BC
\(\Rightarrow AB=AD\) ( t/c 1 điểm thuộc trung trực )
\(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại A
\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\Rightarrow\widehat{B}=60^o\)
\(\Delta ABD\) cân tại A có \(\widehat{B}=60^o\Rightarrow\Delta ABD\) đều
b, Do \(\Delta ABD\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\)
\(\Rightarrow\widehat{HDA}=\widehat{MDC}\)
\(\Rightarrow90^o-\widehat{HDA}=90^o-\widehat{MDC}\)
\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{MCD}\)
t/g ABD cân tại A có AH là trung trực => AH cũng là phân giác
\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{BAH}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{MCD}\)
\(\widehat{HAC}+\widehat{BCA}=90^o\)
\(\widehat{HAC}+\widehat{BAH}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{BAH}\)
\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{HCD}\)
\(\Rightarrow CB\) là p/g của \(\widehat{ACM}\)
c, \(\Delta HAD=\Delta MCD\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow DA=DC\)
\(\Rightarrow\Delta ADC\) cân tại D
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{DCA}\)
\(\Rightarrow\Delta HCA=\Delta MAC\) ( c.huyền - g.nhọn )
\(\Rightarrow HC=AM\)
\(\Rightarrow\Delta ACQ\) cân tại A do 2 đường cao HC = AM
d, t/g ACQ có AM, CH là đường cao
=> D là trực tâm
=> \(QA\perp AC\left(đpcm\right)\)
Vậy...
