cho tam giác cân ABC có AB=AC. trên tia đối của tia BA lấy điểm D, tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE.
a. CM: DE song song với BC
b. Từ D kẻ DM⊥BC, từ E kẻ EN⊥BC. CM: DM=EN
c. Chứng minh △AMN là tam giác cân
d. Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN và chúng cắt nhau tại I. CMR: AI là tia phân giác chung của 2 góc BAC và góc MAC
a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\\E\in AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=AB+DB\\AE=AC+CE\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(AD=AE\left(AB+DB=AC+CE\right)\)
Xét \(\Delta ADE\) có :
AD = AE (cmt)
=> \(\Delta ADE\) cân tại A
Ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABC\) có :
AB = AC (gt)
=> \(\Delta ABC\) cân tại A
Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
Do đó , \(DE//BC\left(đpcm\right)\)
b) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{MBC}\\\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\end{matrix}\right.\) (đối đỉnh)
Suy ra : \(\widehat{MBC}=\widehat{NCE}\)
Xét \(\Delta DBM,\Delta ECN\) có :
\(\widehat{MBC}=\widehat{NCE}\left(cmt\right)\)
\(DB=CE\left(gt\right)\)
\(\widehat{BMD}=\widehat{CNE}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta DBM=\Delta ECN\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> DM = EN (2 cạnh tương ứng)
c) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^{^O}\\\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^{^O}\end{matrix}\right.\left(kềbù\right)\)
Suy ra : \(180^o-\widehat{ABC}=180^{^O}-\widehat{ACB}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét \(\Delta ABM,\Delta ACN\) có :
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)
\(MB=NC\) (từ \(\Delta DBM=\Delta ECN\))
=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)
=> \(AM=AN\) (2 cạnh tương ứng)
Do đó: \(\Delta AMN\) cân tại A (đpcm)
