a) Gọi H là giao điểm của AI và BD
Xét ΔABM và ΔIBM ta có:
\(\widehat{ABH}=\widehat{IBH}\left(GT\right)\)
BH: cạnh chung
\(\widehat{AHB}=\widehat{IHB}\left(=90^0\right)\)
=> ΔABH = ΔIBH (g - c - g)
=> AB = BI (2 cạnh tương ứng)
b/ ΔABC cân tại A (GT)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180^0-100^0}{2}=\frac{80^0}{2}=40^0\)
Mà: \(\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\left(GT\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\frac{1}{2}.40^0=20^0\)
ΔABC có: \(\widehat{ABD}+\widehat{BAC}+\widehat{ADB}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=180^0-\widehat{ABD}-\widehat{BAC}=180^0-20^0-100^0=60^0\)
Ta có: \(\widehat{ADB}+\widehat{ADK}=180^0\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{ADK}=180^0-\widehat{ADB}=180^0-60^0=120^0\)
ΔADK có: AD = DK => ΔADK cân tại D
\(\Rightarrow\widehat{DAK}=\widehat{DKA}=\frac{180^0-\widehat{ADK}}{2}=\frac{180^0-120^0}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0\)
ΔABH vuông tại H nên:
\(\widehat{ABD}+\widehat{BAH}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=90^0-\widehat{ABD}=90^0-20^0=70^0\)
Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{IAD}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{BAC}-\widehat{BAH}=100^0-70^0=30^0\)
Có: \(\widehat{IAK}=\widehat{IAD}+\widehat{DAK}=30^0+30^0=60^0\)
ΔABH = ΔIBH (cmt)
=> AH = BH (2 cạnh tương ứng)
Xét 2 tam giác vuông ΔAHK và ΔIHK ta có:
HK: cạnh chung
AH = BH (cmt)
=> ΔAHK = ΔIHK (c.g.v - c.g.v)
=> AK = IK (2 cạnh tương ứng)
ΔAKI có: \(\left\{{}\begin{matrix}AK=IK\left(cmt\right)\\\widehat{IAK}=60^0\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> ΔAKI đều
