Áp dụng t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền được: \(AM=\dfrac{1}{2}BC\) (1)
Ta có: \(BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=BM=CM\)
mà \(AM=MD\Rightarrow AM=MD=BM=CM\)
\(\Rightarrow\Delta AMB\) cân tại M và \(\Delta CMD\) cân tại M
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g vào:
_ \(\Delta AMB\) có: \(\widehat{ABM}=\dfrac{180^0-\widehat{AMB}}{2}\left(3\right)\)
_ \(\Delta CMD\) có: \(\widehat{MCD}=\dfrac{180^o-\widehat{CMD}}{2}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MCD}\left(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\right)\) đối đỉnh
mà 2 góc này ở vị trí so le trog nên \(AB\) // CD
Lại có: \(\widehat{BAC}+\widehat{ACD}=180^{^o}\) (trong cùng phía)
\(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^{^o}\)
Nối A với I.
Ta lại có: \(\widehat{ACI}+\widehat{EIC}=180^o\) (trong cùng phía)
\(\Rightarrow\widehat{EIC}=90^o\)
Do \(CI=CA\Rightarrow\Delta ACI\) cân tại C
\(\Rightarrow\widehat{CIA}=45^o\) (tổng 3 góc trog tg)
Khi đó: \(\widehat{AIE}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CIA}=\widehat{AIE}\) hay \(\widehat{DIA}=\widehat{EIA}\)
Vì \(AC\) // EI \(\Rightarrow\widehat{CAI}+\widehat{IAE}+\widehat{AEI}=180^o\)
\(\Rightarrow45^o+\widehat{IAE}+\widehat{AEI}=180^o\) (7)
AB // CD \(\Rightarrow\widehat{CIA}+\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=180^o\)
\(\Rightarrow45^o+\widehat{IAD}+\widehat{BAD}=180^o\) (8)
Lại do AC // EI \(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{AEI}\) (đồng vị) (5)
Có: \(\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^o\)
\(\widehat{B}+\widehat{HCA}=90^o\)
Khi đó: \(\widehat{HAC}=\widehat{B}\)
mà \(\widehat{B}=\widehat{MAB}\) (\(\Delta AMB\) cân tại M)
\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{MAB}\) (6)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{MAB}\)
hay \(\widehat{BAD}=\widehat{AEI}\) (9)
Từ (7); (8) và (9) \(\Rightarrow\) \(\widehat{IAE}=\widehat{IAD}\)
Xét \(\Delta AEI\) và \(\Delta ADI\) có:
\(\widehat{EIA}=\widehat{DIA}\) (c/m trên)
AI chung
\(\widehat{IAE}=\widehat{IAD}\) (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta AEI=\Delta ADI\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow AE=AD\) (*)
mà AM = MD = BM = CM (c/m trên)
\(\Rightarrow AM+MD=BM+CM\)
\(\Rightarrow AD=BC\) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow AE=BC\). \(\rightarrowđpcm.\)
Bài này hay ghê!
