a, Ta chứng minh được \(\Delta ABE=\Delta ADE\left(CH-GN\right)\Rightarrow EB=ED\) (1)
Mà \(\Delta DEC\) vuông tại D => EC>ED (2)
Từ (1) và (2) => EB<EC
Vậy EB<EC
b, Ta dễ chứng minh được \(\Delta CHE=\Delta CHF\left(c-g-c\right)\Rightarrow CE=CF\) => \(\Delta CEF\) cân tại C
Ta có: \(\Delta ABE=\Delta ADE\Rightarrow AB=AD\) => A nằm trên trung trực của BD; BE=BD => E nằm trên trung trực của BD. Do đó, AE là trung trực của BD \(\Rightarrow AE\perp BD\Rightarrow AH\perp BD\) (3)
Mà \(AH\perp CH\) (4)
Từ (3) và (4) => BD//CH.
Vậy tam giác CEF cân và BD//CH
c, Kéo dài AB và CH sao cho AB cắt CH tại K.
Ta có: \(CB\perp AK\Rightarrow\) CB là đường cao kẻ từ C của \(\Delta AKC\)
\(AH\perp CK\Rightarrow\) AH là đường cao kẻ từ A của \(\Delta AKC\)
Mà E là giao điểm của CB và AH => E là trực tâm của \(\Delta AKC\) => DE đi qua K (do \(ED\perp AC\) ).
=> CH, DE, AB đều đi qua K.
Vậy CH, DE, AB đồng quy.
Ta có hình vẽ:
a/ Xét hai tam giác vuông BAE và DAE có:
góc BAE = góc DAE (GT)
AE: cạnh chung
=> tam giác BAE = tam giác DAE
=> EB = ED
Xét tam giác DEC vuông tại D có:
góc D > góc C
=> EC > ED
mà ED = EB (cmt)
=> EC > EB hay EB < EC
b/ Xét hai tam giác vuông CHE và CHF có:
HE = HF (GT)
CH: cạnh chung
=> tam giác CHE = tam giác CHF
=> CE = CF
Vậy tam giác CEF cân tại C
Ta có: AB = AD; EB = ED (tam giác BAE = tam giác DAE)
=> BD là trung trực của AE
=> AE vuông góc với BD
Mà CH vuông góc với AE
=> CH // AE (đpcm).
c/ Kéo dài AB và CH cắt tại M
Dễ thấy: E là trực tâm của t/g AMC
Mà CB; AH là đường cao của t/g AMC
=> ME cx là đường cao của t/g AMC
=> ME vuông góc vs AC
Mà theo GT; ED vuông góc với AC
=> ME trùng ED
=> M;E;D thẳng hàng
hay ED cắt AB tại M
Có: ED; AB; CH cắt nhau tại M
=> đpcm.
