Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, E là giao điểm của MH với AB. Gọi K là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC.

a) Tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác AMBH là hình thoi.

c) Chứng minh H đối xứng với K qua A.

Answer 1

a: M đối xứng với H qua AB

nên MH vuông góc với AB tại E và Elà trung điểm của MH

M đối xứng với K qua AC

nên MK vuông góc với AC tại F và F là trug điểm của MK

Xét tứ giác AEMF co

góc AEM=góc AFM=góc FAE=90 độ

nên AEMF là hình chữ nhật

b: Xét ΔBAC có

M là trung điểm của BC

ME//AC

Do đó; E là trung điểm của AB

Xét tứ giác AMBH có

E là trung điểm chung của AB và MH

MA=MB

Do đó; AMBH là hình thoi

c: Xét tứ giác AMCK có

F là trung điểm chung của AC và MK

MA=MC

Do đó: AMCK là hình thoi

=>AC là phân giác của góc KAM(1)

Vì AMBH là hình thoi

nên AB là phân giác của góc MAH(2)

Từ (1), (2) suy ra góc HAK=2*90=180 độ

=>H,A,K thẳng hàng

mà AH=AK

nên A là trung điểm của HK