Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. Gọi K là điểm đối xứng với M qua E.
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật
b) Tính diện tích tứ giác ADME, biết AB=6cm, AC=8cm.
c) Chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi.
d) Để tứ giác AMCK là hình vuông thì tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì?
a) Ta có: \(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\) ADME là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)
b) Ta có: ME là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) ME // AB và ME = \(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AD=ME=3\left(cm\right)\) (cạnh đối hình chữ nhật)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}ME//AB\left(cmt\right)\\MB=MC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AE=CE=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{8}{2}=4\left(cm\right)\)
ADME là hình chữ nhật
\(\Rightarrow S_{ADME}=AD.AE=3.4=12\left(cm^2\right)\)
c) Dễ thấy AC là đường trung trực của MK
\(\Rightarrow\) AM = AK và CM = CK
Mà AM = CM (\(=\dfrac{1}{2}BC\)) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)
\(\Rightarrow\) AM = AK = CM = CK
\(\Rightarrow\) AMCK là hình thoi (tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)
d) Ta có: ME = \(\dfrac{1}{2}\)AB
\(\Rightarrow AB=2ME=MK\)
Hình thoi AMCK là hình vuông \(\Leftrightarrow AC=MK\)
\(\Leftrightarrow AC=AB\) (vì AB = MK)
\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) cân tại A
Mà \(\Delta ABC\) vuông tại A (gt)
Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại A thì hình thoi AMCK là hình vuông.
a) Xét tứ giác ADME, ta có :
vì ABC là tam giác vuông tại a => AB vuông góc với BC, mà D thuộc D thuộc AB, E thuộc AC => AD vuông góc với AE
MD vuông góc với AB (giả thiết)
ME vuông góc với AC ( giả thiết )
=> ADME là hình chữ nhật
