Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi E, G, F lần lượt là trung điểm AB, BC, AC. Từ E kẻ đường thẳng song song với BF, đường này cắt GF tại I.
a) tứ giác AEGF là hình gì?
b) chứng minh rằng BEIF là hình bình hành
c) chứng minh rằng AGCI là hình thoi
d) tìm điều kiện của tam giác ABC để AGCI là hình vuông
(có hình càng tốt nha....)
Hình vẽ:
Giải:
a) Ta có: E là trung điểm AB
G là trung điểm BC
=> EG là đường trung bình của tam giác ABC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EG=\dfrac{1}{2}AC\\EG//AC\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AF=\dfrac{1}{2}AC\\AF\equiv AC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EG=AF\\EG//AF\end{matrix}\right.\)
=> AEGF là hình bình hành
Lại có: \(\widehat{BAC}=90^0\)
=> AEGF là hình chữ nhật.
b) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}EI//BF\left(gt\right)\\BE//FI\left(//GF\right)\end{matrix}\right.\)
=> BEIF là hình bình hành.
c) Ta có:
\(FI=BE\) (BEIF là hình bình hành)
Mà \(BE=AE\) (E là trung điểm AB)
\(\Leftrightarrow FI=AE\)
Mặt khác: \(AE=GF\) (AEGF là hình chữ nhật)
\(\Leftrightarrow FI=GF\)
=> F là trung điểm GI
Lại có: F là trung điểm AC (gt)
=> AGCI là hình bình hành
Mặt khác: \(AG=GC\left(=\dfrac{1}{2}BC\right)\) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
=> AGCI là hình thoi (đpcm)
d) AGCI là hình vuông
\(\Leftrightarrow\widehat{AGC}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\) AG là đường cao
Mà AG là đường trung tuyến (gt)
\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) cân tại A
=> AGCI là hình vuông
<=> Tam giác ABC vuông cân tại A.
