Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a, Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b, Các tứ giác ADBM,ADCN là hình gì? Vì sao?
c, CMR M đối xứng với N qua A.
d, Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông?
a: Ta có: D và M đối xứng nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của MD
=>AB vuông góc với MD tại trung điểm của MD
=>E là trung điểm của MD
Ta có: D và N đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của DN
=>AC vuông góc với DN tại trung điểm của DN
=>Flà trung điểm của DN
Xét tứ giác AEDF có \(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{FAE}=90^0\)
nên AEDF là hình chữ nhật
b: Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AC
DO đó: E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét tứ giác ADBM có
E là trung điểm của AB
E là trung điểm của MD
Do đó: ADBM là hình bình hành
mà DA=DB
nên ADBM là hình thoi
Xét tứ giác ADCN có
F là trung điểm của AC
F là trung điểm của ND
Do đó: ADCN là hình bình hành
mà DA=DC
nên ADCN là hình thoi
c: \(\widehat{NAM}=\widehat{NAD}+\widehat{MAD}=2\cdot90^0=180^0\)
=>N,A,M thẳng hàng
mà AM=AN
nên A là trung điểm của MN
hay M đối xứng với N qua A
