Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60 độ
a)Tính số đo góc C và so sánh độ dài 3 cạnh của tam giác ABC.
b)Vẽ BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC). Qua D vẽ DK vuông góc với BC (K thuộc BC). Chứng minh tam giác BAD=tam giác BKD.
c)Chứng minh tam giác BDC cân và K là trung điểm BC.
d)Tia KD cắt BA tại I. Tính độ dài cạnh ID biết AB=3cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
a) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}+60^0=90^0\)
hay \(\widehat{ACB}=30^0\)(1)
Xét ΔABC có \(\widehat{ACB}< \widehat{ABC}< \widehat{BAC}\left(30^0< 60^0< 90^0\right)\)
nên AB<AC<BC
b) Xét ΔABD vuông tại A và ΔKBD vuông tại K có
BD chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABK}\))
Do đó: ΔABD=ΔKBD(cạnh huyền-góc nhọn)
c) Ta có: BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)(gt)
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)
Xét ΔDBC có \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)(cmt)
nên ΔDBC cân tại D(Định lí đảo của tam giác cân)
Xét ΔBDK vuông tại K và ΔCDK vuông tại K có
DB=DC(ΔDBC cân tại D)
DK chung
Do đó: ΔBDK=ΔCDK(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: BK=CK(hai cạnh tương ứng)
hay K là trung điểm của BC(Đpcm)
