Question

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC). M là trung điểm của BC. Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD

a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

b) Lấy điểm E đối cứng với A qua đường thẳng BC. Chứng minh AE vuông góc với DE

c) Tứ giác BDCE là hình gì? vì sao

Answer 1

a)

Ta có: MB = MC; MA = MD (gt)

⇒ Tứ giác ABDC là hình bình hành

Mà: ∠A = 90°

⇒ Tứ giác ABDC là hình chữ nhật (đpcm)

b)

Gọi O là giao điểm của AC và AE

ΔAED có: OA = OE (E đối xứng với A qua BC); MA = MD (gt)

⇒ OM là đường trung bình của ΔAED

⇒ OM // ED (1)

Vì: E đối xứng với A qua BC

⇒ BC là đường trung trực của AE

⇒ BC ⊥ AE hay OM ⊥ AE (2)

Từ (1), (2) ⇒ ED ⊥ AE (đpcm)

c)

Ta có: BC // ED (OM // ED)

⇒ Tứ giác BEDC là hình thang

Ta có: BD = AC (Tứ giác ABDC là hình chữ nhật) (a)

ΔAEC có: CO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

⇒ ΔAEC cân tại C ⇒ CA = CE (b)

Từ (a), (b) ⇒ BD = EC

Hình thang BEDC có: BD = EC

⇒ Tứ giác BEDC là hình thang cân