Cho tam giác ABC vuông tại A, ( AB nhỏ hon AC ) .Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB , AC , BC.
a) Chứng minh : Tứ giác ANEB là hình thang vuông.
b) Chứng minh : Tứ giác AMEN là hình chữ nhật.
c) Gọi D là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh : Tứ giác BEAD là hình thoi.
d) Tam giác ABC cần có điều kiện gì để tứ giác AMEN là hình vuông.
a)Xét tam giác ABC, có:
EB=EC, E thuộc BC
AN=NC, N thuộc AC
=>EN là đường trung bình của tam giác ABC
=>EN // AB
=>ANEB là hình thang
Xét hình thang ANEB, có:
\(\widehat{NAB}=90^o\)
=>ANEB là hình thang vuông
b)+)Có EN là đường trung bình của tam giác ABC
=>EN = \(\frac{1}{2}\)AB
Mà AM =\(\frac{1}{2}\)AB
=>EN=AM (1)
Có EN // AB
Mà M thuộc AB
=>EN // AM (2)
Từ (1) và (2)=> AMEN là hình bình hành
+)Xét hình bình hành AMEN, có:
\(\widehat{MAN}=90^o\)
=>AMEN là hình chữ nhật
c)+)Xét tam giác ABC vuông tại A, có:
AE là đường trung tuyến ứng với BC
=>\(AE=\frac{1}{2}BC=BE\)
+)Xét tứ giác BEAD, có:
\(AB\cap DE=\left\{M\right\}\)
\(ME=ME\)
\(MA=MB\)
=>BEAD là hình bình hành
+)Xét hình bình hành BEAD, có:
AE=BE (cmt)
=>BEAD là hình thoi
d)Tứ giác AMEN là hình vuông
\(\Leftrightarrow\) AE là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Mà AE là đường trung tuyến ứng với BC và \(\widehat{BAC}=90^o\)
\(\Leftrightarrow\) Tam giác ABC vuông cân tại A
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMEN là hình vuông.
