Question

Cho tam giác ABC vuông ở A , đường cao AH . HE vuông góc AB tại E . HF vuông góc AC tại F . Lấy O là trung điểm BC . AO cắt EF tại K . CMR :

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\)

Answer 1

Ta có: \(\widehat{OAC}+\widehat{OAB}=90^0;\widehat{OAC}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}\)

⇒ \(\widehat{AEF}+\widehat{OAC}=90^0\)⇒ \(\widehat{AKE}=90^0\Rightarrow AK\perp EF\)

Dễ chứng minh AEHF là hình chữ nhật nên AE=HF; AF=HE

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AEF vuông tại A có AK⊥EF, ta có:

\(AK.EF=AE.AF\)⇒\(\frac{AK}{AE}=\frac{AF}{EF}\Rightarrow\frac{AK^2}{AE^2}=\frac{AF^2}{EF^2}\)\(=\frac{AK^2}{HF^2}\) (1)

\(\frac{AK}{AF}=\frac{AE}{EF}\Rightarrow\frac{AK^2}{AF^2}=\frac{AE^2}{EF^2}\)\(=\frac{AK^2}{HE^2}\) (2)

Cộng (1) với (2) ta có :

\(AK^2.\left(\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\right)=\frac{AE^2+AF^2}{EF^2}=\frac{EF^2}{EF^2}=1\)

⇒ \(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\)