Question

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở P. Qua M kẻ đường song song với AB cắt AC ở Q. Biết MP = MQ

a) Tứ giác AQMQ là hình gì? Vì sao

b) Chứng minh QP song song BC

c) tam giác ABC cần điều kiện gì để tứ giác AQMP là hình vuông

Answer 1

a) Xét tứ giác APMQ

AP//QM (AB//QM)

AQ//PM (AC//PM)

\(\Rightarrow\)Tứ giác APMQ là hình bình hành ( tứ giác có các cặp cạnh song song)

mà MP = MQ (gt)

\(\Rightarrow\) APMQ là hình thoi ( hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau )

b) C₁

Xét \(\Delta ABC:\)

M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\))

mặt khác MP//AC (gt)

\(\Rightarrow\) P là trung điểm AB ( định lí về đường trung bình của tam giác)

CM tương tự ta cũng có Q là trung điểm AC

\(\Rightarrow\) PQ là đường trung bình của \(\Delta ABC\) ( định nghĩa về đường trung bình trong tam giác)

\(\Rightarrow\) PQ//BC ( tính chất đường trung bình trong tam giác)

C₂

Xét \(\Delta PBM,\Delta QMC:\)

BM = MC ( AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\))

\(\widehat{B}=\widehat{M}\) ( 2 góc ở vị trí đồng vị do AB//QM)

\(\widehat{M}=\widehat{C}\) ( 2 góc ở vị trí đồng vị do PM//AC)

\(\Rightarrow\Delta PBM=\Delta QMC\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow PB=QM\)

mà AP=QM (dấu hiệu 1 hình thoi)

\(\Rightarrow AP=PB\)

\(\Rightarrow\) P là trung điểm AB (1)

CM tương tự ta cũng có Q là trung điểm AC (2)

từ (1) , (2)

\(\Rightarrow\) PQ là đường trung bình \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) PQ//BC

C₃

Xét \(\Delta ABC\)

có AM là đường trung tuyến (gt)

lại có AM là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)(do APMQ là hình thoi)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\) AM đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

mặt khác \(AM\perp PQ\) ( do tính chất đường chéo hình thoi)

từ \(AM\perp BC,AM\perp PQ\Rightarrow\)PQ//BC