Question

Cho tam giác ABC, phân giác AD. Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa A, vẽ góc CBx = góc ABD, Bx cắt AD tại E. Chứng minh:

a) Tam giác ADC đồng dạng với tam giác DEB

b) góc ABE = góc ADC

c) EA.BD²=ED.AB²

Answer 1

a) Vì AD là tia phân giác ∠BAC => ∠BAD = ∠CAD

Mà ∠BAD = ∠CBE

Nên ∠CAD = ∠CBE

Xét ΔADC và ΔDEB có:

∠CAD = ∠CBE ( chứng minh trên )

∠ADC = ∠BDE ( đối đỉnh)

Do đó ΔADC đồng dạng với ΔDEB ( g.g)

b) Vì ΔADC đồng dạng với ΔDEB ( câu a)

=> ∠ACD = ∠BED ( 2 góc tương ứng )

Xét ΔADC có: ∠DAC + ∠DCA + ∠ADC = 180 độ

Xét ΔABE có: ∠BAE + ∠BEA + ∠ABE = 180 độ

Mà ∠DCA = ∠BEA ( chứng minh trên )

∠BAE = ∠CAD ( chứng minh trên )

=> ∠ADC = ∠ABE

c) Xét ΔABE và ΔBDE có:

∠BAE = ∠DBE ( giả thuyết)

∠E chung

Do đó ΔABE đồng dạng với ΔBDE (g.g)

=> $\frac{EA}{EB}$ = $\frac{AB}{BD}$

<=> EA . BD = EB . AB

<=>(EA . BD)² = (EB.AB)²