Cho tam giác ABC nhọn có góc A = 60 độ. Phân giác góc ABC cắt AC tại D, phân giác góc ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I
a) Tính số đo góc BIC
b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng minh tam giác CID = tam giác CIF
c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC. Chứng minh tam giác BCM là tam giác đều
a) Có BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\)
lại có CE là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACE}=\widehat{BCE}\)
mà \(\Delta ABC\) có : \(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\) ( định lý tổng ba góc của một \(\Delta\) )
\(60^o+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\) = \(180^o\)
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^o\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BIC}=120^o\)
b) Xét \(\Delta BIE\) và \(\Delta BIF\) có :
BF = BE ( gt )
BI : cạnh chung
\(\widehat{EBI}=\widehat{FBI}\) ( do BD là tia phân giác \(\widehat{ABC}\) )
do đó \(\Delta BIE=\Delta BIF\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BIE}=\widehat{BIF}\) ( 2 góc tương ứng )
có \(\widehat{BIC}=120^o\) \(\rightarrow\widehat{BIE}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BIE}=\widehat{BIF}=60^o\)
mà \(\widehat{BIE}+\widehat{BIF}+\widehat{CIF}=180^o\)
\(\rightarrow\widehat{CIF}=60^o\)
có \(\widehat{CID}=\widehat{BIE}=60^o\) ( 2 góc đối đỉnh )
\(\rightarrow\widehat{CIF}=\widehat{CID}=60^o\)
CI : cạnh chung
\(\widehat{DCI}=\widehat{ICF}\) ( do CE là tia phân giác \(\widehat{ACB}\) )
do đó \(\Delta CID=\Delta CIF\left(g.c.g\right)\)
