Cho tam giác ABC nhọn có (AB< AC), đường cao BD và CE cắt nhau tại H, I là trung điểm của BC. Gọi K là điểm đối xứng với H qua I , M là điểm đối xứng với H qua đường thẳng BC. 1) các tứ giác BHCK,BCKM là hình gì? 2) gọi O là trung điểm của AK. Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. 3) chứng minh rằng AK vuông góc với DE
a) xét tứ giác BHCK có:
I là trung điểm BC (gt)
I là trung điểm HK(K đối xứng H qua I)
=> tứ giác BHCK là hình bình hành (dhnb hình bình hành)
b) Nối C với M
Gọi giao của HM với BC là N }
Có M đối xứng H qua BC }
(ngoặc 2 ý trên)=>BC là trung trực của HM tại N => HC=CM( định lí đg nằm trên trung trực đoạn thẳng-học lớp 7)
Mà BK=HC(BHCK là hình bình hành)
(ngoặc 2 ý lại) => MC=BK
xets tam giác HMK có: N là trung điểm HM(cmt) I là trung điểm HK(cmt)
=> NI là đg trung bình tam giác HMK( đn đg trung bình tam giác)
=> NI // MK (đlí 2: đg trung bình tam giác) => BC//MK( I và N đều thuộc BC) => tứ giác BCKM là hình thang (đn hình thang) Mà MC=BK(cmt)=> BCKM là hình thang cân
c) Có BHCK là hình bình hành(cmt) => BH//CK( định nghĩa hình bình hành) Mà BH vuông góc AC tại D(gt) => CK vuông góc ÁC tại C=> tam giác ACK vuông tại C
Mà CO là trung tuyến(O là trung điểm AK)
=> CO=OA=OK=1/2 AK ( Định lí áp dụng vào tam giác)
chứng minh tương tự: OB=OA=OK=1/2AK
(ngoặc 2 ý lại)=> OA=OB=OC
=> Ở là giao 3 đg trung trực tam giác ABC( vì trực tâm tam giác cách đều 3 đỉnh tam giác-học lớp 7)
