Cho tam giác ABC nhọn ( AB< AC ) đường tròn (O) đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự ở E và D
a) chứng minh AE.AB=Ad.AC
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE . AH giao BC tại K , chứng minh AH vuông góc với BC
c) Kẻ tiếp tuyến AP . AQ đến đường tròn (O) ( p , Q là tiếp điểm ) chứng minh A, P, K ,O,Q thuộc 1 đường tròn
d) tam giác AHB đồng dạng tam giác APk và 3 điểm P , H , Q thẳng hàng
Tự bạn vẽ hình nhé!
a) Xét BEDC nội tiếp (O)
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)
Mà \(\widehat{BAC}\) chung
\(\Rightarrow\Delta AED\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\\ \Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\\ \Rightarrow AD.AC=AB.AE\)
b) Ta có:
\(D,E\in\left(O\right)\\ \Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\)
\(\Rightarrow\) BA, CE là đường cao tam giác ABC
\(\Rightarrow\) H là trực tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow AH\perp BC\) tại K
c) AP, AQ là tiếp tuyến (O)
\(\Rightarrow\widehat{APO}=\widehat{AQO}=90^o=\widehat{AKO}\)
Suy ra: A, P, K, O, Q thuộc một đường tròn
d) Gõ vậy cho nhanh :))
Xét tam giác AEH và tam giác AKB có:
góc BAK chung
góc AEH = góc AKB = 90 độ
=> tam giác AEH đồng dạng tam giác AKB (g - g)
=> AE/AH = AK/AB (1)
AP là tiếp tuyến (O)
=> góc APE = góc ABP
Mà góc PAB chung
=> tam giác APE đồng dạng tam giác ABP (g - g)
=> AP/AE = AB/AP <=> AP^2 = AB.AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AP^2 = AH.AK
<=> AP/AH = AK/AP
Mà góc PAK: chung
=> tam giác APH đồng dạng tam giác AKP (c - g - c)
=> góc APH = góc AKP
Mà APKOQ nội tiếp => góc AKP = góc AQP
Mà AP, AQ là tiếp tuyến (O) => góc APQ = góc AQP = 1/2sđcungPQ
=> góc APH = góc APQ => P, H, Q thẳng hàng
