Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh BC. Qua M vẽ MN, MP song song với AB và AC.
a)Gọi O là trung điểm NP. C/m A,O,M thẳng hàng
b)Giả sử NP vắt BC tại Q và \(\frac{MB}{MC}=\frac{1}{2}\). Tính tỉ số \(\frac{QB}{QC}\)
C)Tìm M để SMBP lớn nhất
Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh BC. Qua M vẽ MN, MP song song với AB và AC.
a)Gọi O là trung điểm NP. C/m A,O,M thẳng hàng
b)Giả sử NP vắt BC tại Q và MB/MC1/2. Tính tỉ số QB/QC
C)Tìm M để SMBP lớn nhất
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh BC. Qua M vẽ MN, MP song song với AB và AC.
a)Gọi O là trung điểm NP. C/m A,O,M thẳng hàng
b)Giả sử NP vắt BC tại Q và MB/MC=1/2. Tính tỉ số QB/QC
C)Tìm M để SMBP lớn nhất
Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh BC. Qua M vẽ MN, MP song song với AB và AC.
a)Gọi O là trung điểm NP. C/m A,O,M thẳng hàng
b)Giả sử NP vắt BC tại Q và MB/MC1/2. Tính tỉ số QB/QC
C)Tìm M để diện tích MBP lớn nhất
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh BC. Qua M vẽ MN, MP song song với AB và AC.
a)Gọi O là trung điểm NP. C/m A,O,M thẳng hàng
b)Giả sử NP vắt BC tại Q và MB/MC=1/2. Tính tỉ số QB/QC
C)Tìm M để diện tích MBP lớn nhất
Qua M thuộc cạnh BC của tam giác vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia.Chúng cát hai cạnh AB và AC theo thứ tự ở H,K. CMR
a) \(\frac{AH}{AB}+\frac{AK}{AC}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC
b) xét tỉ số trên khi M nằm trên đường thẳng BC nhưng không nằm trên đoạn thẳng BC
Cho tam giác ABC nhọn có ABAC nội tiếp (O), gọi AD là đường kính của (O), tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại M, đường thẳng MO cắt AB và AC lần lượt tại E, Fa) Chứng minh : MD2MC.MBb) Gọi H là trung điểm của BC, qua B vẽ đường thẳng song song với MO đường thẳng này cắt AD tại P. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD đi qua Pc) Chứng minh O là trung điểm của EF
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC nội tiếp (O), gọi AD là đường kính của (O), tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại M, đường thẳng MO cắt AB và AC lần lượt tại E, F
a) Chứng minh : MD2=MC.MB
b) Gọi H là trung điểm của BC, qua B vẽ đường thẳng song song với MO đường thẳng này cắt AD tại P. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD đi qua P
c) Chứng minh O là trung điểm của EF
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Tiếp tuyến tại D cắt đường thẳng BC tại P, đường thẳng PO cắt đường thẳng AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Qua C vẽ đường thẳng song song với đường thẳng MN cắt đường thẳng AD tại E và cắt đường thẳng AB tại Q. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm P, O, I, D cùng nằm trên một đường tròn. b) EIP EDC . c) O là trung điểm của đoạn thẳng MN
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Tiếp tuyến tại D cắt đường thẳng BC tại P, đường thẳng PO cắt đường thẳng AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Qua C vẽ đường thẳng song song với đường thẳng MN cắt đường thẳng AD tại E và cắt đường thẳng AB tại Q. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm P, O, I, D cùng nằm trên một đường tròn. b) EIP = EDC . c) O là trung điểm của đoạn thẳng MN
Cho iểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B ,C là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của (O) sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB (D, E thuộc (O) ) . Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC,AB lần lượt tại P , Q
a) Gọi H là giao điểm của BC với OA . Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp
b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E. Chứng minh A,P,K thẳng hàng.
2 . Cho a , b , c 0 thỏa mãn a+b+c 3 . Chứng minh rằng : frac{a+1}{b^2+1}+frac{b+1}{c^2+1}+frac{c+1}{a^2+1}ge3
Đọc tiếp
Cho iểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B ,C là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của (O) sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB (D, E thuộc (O) ) . Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC,AB lần lượt tại P , Q
a) Gọi H là giao điểm của BC với OA . Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp
b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E. Chứng minh A,P,K thẳng hàng.
2 . Cho a , b , c > 0 thỏa mãn a+b+c = 3 . Chứng minh rằng : \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ABAC, nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao BF của tam giác ABC(F thuộc AC). Từ F kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E. Gọi H là giao điểm của CE và BF; D là giao điểm của AH và BC.
a) Cmr MA^2MB.MC và dfrac{MC}{MB}dfrac{AC^2}{AB^2}
b) Cmr AH vuông góc với BC tại D
c) Gọi I là trung điểm BC. Cmr 4 điểm E,F,D,I cùng nằm trên 1 đường tròn
d) Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC l...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB<AC, nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao BF của tam giác ABC(F thuộc AC). Từ F kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E. Gọi H là giao điểm của CE và BF; D là giao điểm của AH và BC.
a) Cmr \(MA^2=MB.MC\) và \(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{AC^2}{AB^2}\)
b) Cmr AH vuông góc với BC tại D
c) Gọi I là trung điểm BC. Cmr 4 điểm E,F,D,I cùng nằm trên 1 đường tròn
d) Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Cmr H là trung điểm của PQ
Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) tại N và P ( N nằm giữa M và P ) sao cho O nằm bên trong góc PMC . Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP. Các dây AB, AC lần lượt cắt NP tại D và E
a) C/m: Tứ giác BDEC nội tiếp
b) C/m: MB.MC MN.MP
c) OA cắt NP tại K. C/m: ^{ }MK . MK MB . MC
Đọc tiếp
Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) tại N và P ( N nằm giữa M và P ) sao cho O nằm bên trong góc PMC . Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP. Các dây AB, AC lần lượt cắt NP tại D và E
a) C/m: Tứ giác BDEC nội tiếp
b) C/m: MB.MC = MN.MP
c) OA cắt NP tại K. C/m: \(^{ }\)MK . MK > MB . MC