Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quoc Tran Anh Le

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

Kiều Sơn Tùng
17 tháng 9 2023 lúc 21:56

Gọi D là giao điểm của IC và MNE là giao điểm của IA và PNF là giao điểm của IB và PM.

Ta có: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.

Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:

     IC chung;

     IN = IM.

Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {MIC} = \widehat {NIC}\)( 2 góc tương ứng).

Tương tự: \(\Delta IPA = \Delta INA\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIA} = \widehat {NIA}\)( 2 góc tương ứng).

     \(\Delta IPB = \Delta IMB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIB} = \widehat {MIB}\)( 2 góc tương ứng).

Xét hai tam giác IDN và IDM có:

     ID chung;

     \(\widehat {NID} = \widehat {MID}\);

     IN = IM.

Vậy \(\Delta IDN = \Delta IDM\)(c.g.c)

\(\Rightarrow DN = DM\) ( 2 cạnh tương ứng);

 \(\widehat {IDN} = \widehat {IDM}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà  \(\widehat {IDN} + \widehat {IDM}=180^0\) ( 2 góc kề bù)

\(\Rightarrow \widehat {IDN} = \widehat {IDM}= 180^0:2=90^0\).

Suy ra: IC là đường trung trực của cạnh MN.

Tương tự ta có:

IA là đường trung trực của cạnh PN; IB là đường trung trực của cạnh PM.


Các câu hỏi tương tự
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết