Tam giác ABC có 3 góc nhọn thì đúng hơn.
(Tự vẽ hình)
Áp dụng định lý Pythagoras cho các tam giác AOI vuông tại I và tam giác AOM vuông tại M có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AI^2+OI^2=AO^2\\AM^2+OM^2=AO^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AI^2+OI^2=AM^2+OM^2\) (1)
Tương tự: \(BH^2+OH^2=BI^2+OI^2;\) (2)
\(CM^2+OM^2=CH^2+OH^2.\) (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) và rút gọn ta được:
\(AI^2+BH^2+CM^2=AM^2+BI^2+CH^2\)
Vậy ta có đpcm.
Hình vẽ:
Chúc bạn học tốt!
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:
\(\Delta AOI\) vuông tại $I$; \(\Delta AOM\) vuông tại $M$ $\Rightarrow AI^2+IO^2=AM^2+OM^2$
\(\Delta BOI\) vuông tại $I$; \(\Delta BOH\) vuông tại $H$ $\Rightarrow BI^2+IO^2=BH^2+OH^2$
\(\Delta COM\) vuông tại $M$; \(\Delta COH\) vuông tại $H$ $\Rightarrow CM^2+MO^2=CO^2=CH^2+OH^2
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI^2+IO^2=AM^2+CM^2\left(1\right)\\BH^2+CH^2=BI^2+IO^2\left(2\right)\\CM^2+MO^2=CH^2+OH^2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế ta được:
\(AI^2+BH^2+CM^2+\left(IO^2+CH^2+MO^2\right)=\left(IO^2+CH^2+MO^2\right)+AM^2+BI^2+CH^2\\ \Rightarrow AI^2+BH^2+CM^2=AM^2+BI^2+CH^2\left(dpcm\right)\)
