Question

Cho tam giác ABC có AD là phân giác ngoài. Chứng minh: \(AD^2=DB\cdot DC-AB\cdot AC\)

Answer 1

Trên tia đối của tia $AD$ lấy $M$ sao cho $\widehat{M}=\widehat{ABD}$

Xét tam giác $ABD$ và $AMC$ có:

$\widehat{A_3}=\widehat{A_2}=\widehat{A_1}$ (tính đối đỉnh và tính chất phân giác)

$\widehat{ABD}=\widehat{AMC}$ (đã cho)

$\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle AMC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AM}{AC}\Rightarrow AD.AM=AB.AC$ (1)

Xét tam giác $ABD$ và $CMD$ có:

$\widehat{D}$ chung

$\widehat{ABD}=\widehat{CMD}$ (đã cho)

$\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle CMD(g.g)$

$\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{CD}{MD}\Rightarrow AD.MD=BD.CD$ (2)

Lấy (2) trừ (1) thu được:

$BD.CD-AB.AC=AD.MD-AD.AM=AD^2$

Ta có đpcm.

Answer 2

Hình vẽ: