Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho MA=ME
Xét ΔABM và ΔECM có
AM=EM(theo cách vẽ)
\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)
BM=CM(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
Do đó: ΔABM=ΔECM(c-g-c)
⇒AB=CE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔACE có AE<AC+CE(Bất đẳng thức trong tam giác)
mà CE=AB(cmt)
nên AE<AC+AB(1)
Ta có: MA=ME(theo cách vẽ)
mà A,M,E thẳng hàng
nên M là trung điểm của AE
hay \(AE=2\cdot AM\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\cdot AM< AB+AC\)
\(\Leftrightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}=\frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}\)(3)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
P là trung điểm của AB(CP là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của ΔABC)
Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(MP=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(4)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
N là trung điểm của AC(BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của ΔABC)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(MN=\frac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra MA<MP+MN(đpcm)
