Question

Cho tam giác ABC cân tại A, \(\widehat{A}\) <90độ. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.

Answer 1

Xét △BEC và △BDC, Có:

góc ABC = góc ACB (△ABC cân)

BC cạnh chung

góc BEC = góc CDB (=\(90^0\))

\(\Rightarrow\Delta BEC=\Delta CDE\left(c.huyền-g.nhọn\right)\)

\(\Rightarrow BE=CD\)(hai cạnh tương ứng)

Ta lại có:

BE+EA=BA

DC+DA=AC

mà AB=AB ⇔AE=AD

Xét 2 tam giác vuông AEK và ADK, Có:

AK cạnh chung

AE = AD (CMT)

⇔ △AEK=△ADK (c.huyền-c.góc vuông)

\(\Rightarrow\) góc EAK = góc DAK (hai góc tương ứng) (1)

Ta có: AK nằm giữa AE và AD (2)

Từ (1) và (2) ⇔ AK là tia phân giác của góc A