Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối tia CB lấy D sao cho CD=1/2CB. Đường thẳng qua D và vuông góc với BD cắt AC tại E.C/m C là trung điểm của AE

Answer 1

Ta có hình vẽ:

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

AB = AC (tam giác ABC cân)

AH: cạnh chung

góc AHB = góc AHC = 90⁰ (GT)

=> tam giác ABH = tam giác ACH (ch.cgv)

=> BH = CH (2 cạnh tương ứng)

hay BH = CH = 1/2 BC

Mà CD = 1/2 BC

=> CD = BH = CH hay CD = CH

Xét tam giác AHC và tam giác EDC có:

góc AHC = góc D = 90⁰ (GT)

CD = CH (cmt)

góc ACH = góc DCE (đối đỉnh)

=> tam giác AHC = tam giác EDC (g.c.g)

=> AC = CE (2 cạnh tương ứng) (1)

Ta có: góc ACH = góc DCE (đối đỉnh)

mà góc ACH + góc ACD = 180⁰ (kề bù)

=> góc DCE + góc ACD = 180⁰

hay góc ACE = 180⁰ (2)

Từ (1),(2) => C là trung điểm của AE (đpcm)