cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AM. gọi D là điểm đối xứng của A qua M. gọi K là trung điểm của MC , E là diểm đối xứng của D qua K
a/ chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi
b/ chứng minh tứ giác AMCE là hình chữ nhật
c/ AM và BE cắt tại I. chứng minh I là trng điểm của BE .
gọi N là giao điiểm của CI và AK. chứng minh N là trọng tâm của tam giác AMC
a/
D đối xứng A qua M =>M là trung điểm của AD
M là trung điểm của BC (gt)
=>ABDC là hbh (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm)
Mà AB=AC (do ABC cân tại A)
=>ABDC là hình thoi (hbh có 2 cạnh kề bằng nhau)
b/ K là trung điểm MC
E đối xứng D qua K =>K là trung điểm DE
=>MDCE là hbh (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm)
=>MD//CE và MD=CE
Mà M thuộc AD =>AM//CE
AM=MD (gt) =>AM=CE
=>AMCE là hbh (tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau)
Lại có ABC cân, AM là trung tuyến =>AM cũng là đường cao
=>\(\widehat{AMC}=90^0\)
=>AMCE là hcn (hbh có 1 góc vuông)
d/Do AMCE là hcn (cmt) =>AE//MC
Mà M thuộc BC =>AE//BM (1)
Lại có AE=MC (cũng do AMCE là hcn); MC=BM (M là trung điểm BC)
=>AE=BM (2)
=>AEMB là hbh
Mà I là giao điểm hai đường chéo của hbh AEMB =>I là trung điểm BE.
Và I cũng là trung điểm AM
Xét tam giác AMC có:
- I là trung điểm AM =>CI là đường trung tuyến
- K là trung điểm MC =>K là đường trung tuyến
=>N là giao điểm 2 đường trung tuyến của tam giác AMC
=>N là trọng tâm tam giác AMC