Xét △ABG và △ACH có :
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\left(gt\right)\\AHlàcạnhchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c-g-c\right)\\ \Rightarrow BH=CH\left(haicạnhtươngứng\right)\)
và \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(haigóctươngứng\right)\)
Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\)
Mà BC = 10 cm nên BH=CH=\(\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)
⇒AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
⇒G là trọng tâm của tam giác ABC
⇒\(AG=\dfrac{2}{3}AH\)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHB ta có :
\(AH^2+BH^2=AB^2\\ MàAB=13cm;BH=5cm\\ \Rightarrow AH^2+5^2=13^2\\ \Leftrightarrow AH^2=169-25\\ \Leftrightarrow AH^2=144\\ VìAH>0\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)
Mà \(AG=\dfrac{2}{3}AH\)
⇒AG = \(\dfrac{2}{3}\cdot12=8\left(cm\right)\)
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC và AG = 8 cm.
